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Linear Algebra on Khan Academy

역함수가 존재하는 특성을 가지고 있다는 뜻
f : X -> Y 일 때 $f^{-1}$ : Y - > X가 존재한다. 이것은 다음과 필요충분조건이다
- $f^{-1} \cdot f = I_X and f \cdot f^{-1} = I_Y$

역함수는 유일한가?

전사함수, Surjective (onto)

단사함수, Injective (one-to-one)

전단사함수, Bijective

전사함수의 조건

정의역의 원소 x와 변환 T에 대해서 T(x) = Ax 라고 하자
공역의 원소 b에 대해서 적어도 한 개의 x가 Ax = b를 만족해야 한다
이 뜻은 A의 열공간이 공역의 공간을 이루어야 한다는 것이다
- 이를 만족하려면 기약행사다리꼴행렬이 모든 행에서 추축 성분을 지녀야 한다
- m x n 행렬에서 공역의 공간을 이루는 n개의 열에 대해 m개의 추축이 있어야 한다는 뜻

Ax = 0
- 여기에서 해를 찾으려면
- [A | 0] 의 붙임행렬을 만들고
- [rref(A) | 0] 의 기약행사다리꼴행렬을 만들어서
- x = an1 + bn2 + ... 의 자유벡터로 구성된 선형결합을 만들게 된다
Ax = b
- 마찬가지로 여기에서 해를 찾으려면
- [A | b] 의 붙임행렬을 만들고
- [rref(A) | b']의 기약행 사다리꼴행렬을 만들어서
  - 이때는 b가 아니라 b' 이다
- x = b' + an1 + bn2 + ... 의 선형결합을 만들게된다
- 이 때 b' = $\vec x_p$ 라고 하고 an1 + bn2 + ... = $\vec x_n$ 이라고 하면
- 이 때의 해집합은 어떤 벡터와 영공간의 결합이라고 할 수 있다
즉, $Ax_p + Ax_n = \vec b$ 가 된다는 뜻.
- 이떄, Ax = b를 만족하는 x에 대해서 $A(\vec x - \vec x_p) = \vec 0$ 이기 때문에 x에서 특수해 x를 뺸 x-x_p가 Ax의 영공간의 해가 된다
  - Ax 와 Ax_p 모두 b이기 때문에 영벡터가 된다
  - 이 때 $\vec x - \vec x_p = \vec x_h$ 라고 하면
  - $\vec x = \vec x_p + \vec x_h$

결론적으로

단사함수가 되기 위해서는 변환 행렬의 영공간이 영벡터로만 이루어져야 된다
- 영공간이 영벡터로만 이루어져있다는 뜻 A를 이루는 모든 열벡터가 선형독립이라는 뜻이다

가역성을 만족하려면 n차원에서 m차원으로 사상하는 변환 T가 다음과 같아야 한다

전사함수
- Rank(A) = m
단사함수
- Rank(A) = n
따라서 A는 m x m = n x n 의 정사각행렬이어야 한다
- 이는 A의 기약행사다리꼴 행렬이 단위행렬과 같다는 뜻
  - A의 열벡터들이 모두 선형독립하므로
결국 변환 자체가 n차원에서 n차원으로 사상되어야 한다

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