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Linear Algebra on Khan Academy

함수의 역이란?

• 벡터를 다룰 때는 함수라는 단어 보다는 변환이라는 단어를 사용한다

가역적

• 역함수가 존재하는 특성을 가지고 있다는 뜻

• f : X -> Y 일 때 $f^{-1}$ : Y - > X가 존재한다. 이것은 다음과 필요충분조건이다

  • $f^{-1} \cdot f = I_X and f \cdot f^{-1} = I_Y$

역함수는 유일한가?

• 유일하지 않다는 것의 데한 증명을 하면 유일하다는 결론으로 도달한다

• g와 h가 각각 f의 역함수라고 가정할 때의 식

증명: 가역성은 f(x)=y 의 해가 유일함을 의미합니다.

• 역함수가 존재한다는 뜻은 정의역과 치역의 일대일 대응을 의미한다.

• 따라서 f(x) = a를 만족하는 (x, a) 쌍은 하나이다

• 결론적으로, f가 가역적이면 모든 x와 y쌍은 유일하며, 반대도 마찬가지이다.

전사함수와 단사함수

전사함수, Surjective (onto)

• 공역과 치역이 같은 함수

단사함수, Injective (one-to-one)

• 정의역과 공역의 일대일 함수

  • 주의할 것은 치역이 아니다

  • 따라서 선택되지 않는 공역의 원소가 있다

전단사함수, Bijective

• 전사와 단사를 동시에 만족하는 함수

가역성과 전사함수, 단사함수의 관계

• 가역성은 모든 x와 y가 일대일 대응이어야 한다

  • 단사함수여야 된다는 뜻

• 또 전사함수여야 한다

  • f(x) = y 라면, g(y) 를 했을 때에 x가 나와야 하므로 양쪽 함수의 범위가 동일해야함

변환이 전사함수인지 판별하기

전사함수의 조건

• 정의역의 원소 x와 변환 T에 대해서 T(x) = Ax 라고 하자

• 공역의 원소 b에 대해서 적어도 한 개의 x가 Ax = b를 만족해야 한다

• 이 뜻은 A의 열공간이 공역의 공간을 이루어야 한다는 것이다

  • 이를 만족하려면 기약행사다리꼴행렬이 모든 행에서 추축 성분을 지녀야 한다

  • m x n 행렬에서 공역의 공간을 이루는 n개의 열에 대해 m개의 추축이 있어야 한다는 뜻

Ax = b 의 해집합 구하기

• Ax = b 가 해를 가진다고 할 때, 이 해는 어떤 한 벡터와 A의 영공간의 결합이다.

단사변환에 대한 행렬의 조건

• Ax = 0

  • 여기에서 해를 찾으려면

  • [A | 0] 의 붙임행렬을 만들고

  • [rref(A) | 0] 의 기약행사다리꼴행렬을 만들어서

  • x = an1 + bn2 + ... 의 자유벡터로 구성된 선형결합을 만들게 된다

• Ax = b

  • 마찬가지로 여기에서 해를 찾으려면

  • [A | b] 의 붙임행렬을 만들고

  • [rref(A) | b']의 기약행 사다리꼴행렬을 만들어서

    • 이때는 b가 아니라 b' 이다

  • x = b' + an1 + bn2 + ... 의 선형결합을 만들게된다

  • 이 때 b' = $\vec x_p$ 라고 하고 an1 + bn2 + ... = $\vec x_n$이라고 하면
  • 이 때의 해집합은 어떤 벡터와 영공간의 결합이라고 할 수 있다

• 즉, $Ax_p + Ax_n = \vec b$가 된다는 뜻.

  • 이떄, Ax = b를 만족하는 x에 대해서$A(\vec x - \vec x_p) = \vec 0$ 이기 때문에 x에서 특수해 x를 뺸 x-x_p가 Ax의 영공간의 해가 된다

    • Ax 와 Ax_p 모두 b이기 때문에 영벡터가 된다

    • 이 때 $\vec x - \vec x_p = \vec x_h$ 라고 하면
    • $\vec x = \vec x_p + \vec x_h$

결론적으로

• 단사함수가 되기 위해서는 변환 행렬의 영공간이 영벡터로만 이루어져야 된다

  • 영공간이 영벡터로만 이루어져있다는 뜻 A를 이루는 모든 열벡터가 선형독립이라는 뜻이다

가역성의 조건을 간단히하기

가역성을 만족하려면 n차원에서 m차원으로 사상하는 변환 T가 다음과 같아야 한다

• 전사함수

  • Rank(A) = m

• 단사함수

  • Rank(A) = n

• 따라서 A는 m x m = n x n 의 정사각행렬이어야 한다

  • 이는 A의 기약행사다리꼴 행렬이 단위행렬과 같다는 뜻

    • A의 열벡터들이 모두 선형독립하므로

• 결국 변환 자체가 n차원에서 n차원으로 사상되어야 한다

역변환이 선형임을 확인하기

• 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있음

• 영상은 이에 대한 풀이 과정(=증명 과정?)