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삼각형의 세 선분 L0, L1, L2는 벡터 x0, x1, x2의 차로 구성되었다.
이 때 이 세 선분을 위 식의 T변환을 거치게 되면 다음과 같이 변환된다.
이때, T(L)을 T아래 L의 상이라고 한다.
상이라고 하는 이유는 T가 L을 왜곡해서 새로운 공역을 정의하기 때문이다.
n차원의 실수 집합의 부분공간을 V라고 하자.
잠깐 부분공간의 정의를 되짚어보자.
V의 원소 a, b에 대하여 합과 곱에 대해 닫혀있어야 한다.
이때 반드시 영벡터도 포함해야 해서 따로 명시해주고는 하는데 이 부분은 곱에 대해 닫혀있다는 말과 중복된다
cf) 부분공간과 부분집합은 다르다
부분집합은 부분공간이 될 수 없지만 반대는 가능
그리고 n차원의 실수 집합을 m차원의 실수 집합으로 변환하는 T가 있다고 하자. 이때 이 T(V)는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있으므로 T(V)는 부분공간이다
결론
모든 선형변환은 행렬의 벡터변환으로 표현할 수 있다
모든 정의역의 원소들을 공역으로 사상하면 이것이 곧 선형변환의 상이된다
행렬의 영공간으로 변환을 표현할 수 있다
지금까지는 집합 X의 부분공간 A가 변환 T를 거쳐 사상되는 상 T(A)를 살펴보았는데, 반대로 T를 거쳐 사상된 상 T(A)가 있을 때 A를 구하고자 한다.
이 때 X가 존재하지 않을 수도 있다.
어쨋든, 우리는 이 X가 있으면 한번 구해보자는 것이고 이 때 X를 T에 있는 집합 S의 원상 이라고 한다
이 때 원상의 상은 S에 포함된다.
정의역이 모두 S랑 대응되지 않을 수도 있기 때문에 같은 것이 아니라 포함되는 것
어떠한 변환 T를 통해 영벡터로 사상될 때 이 정의역을 T의 핵이라고 한다.
Kernel of T, Ker(T) 라고 표현한다
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