14 Wed

Linear Algebra on Khan Academy

변환에서의 부분집합의 상

삼각형의 세 선분 L0, L1, L2는 벡터 x0, x1, x2의 차로 구성되었다.

이 때 이 세 선분을 위 식의 T변환을 거치게 되면 다음과 같이 변환된다.

이때, T(L)을 T아래 L의 상이라고 한다.

• 상이라고 하는 이유는 T가 L을 왜곡해서 새로운 공역을 정의하기 때문이다.

Im(T): 변환의 상

n차원의 실수 집합의 부분공간을 V라고 하자.

• 잠깐 부분공간의 정의를 되짚어보자.

• V의 원소 a, b에 대하여 합과 곱에 대해 닫혀있어야 한다.

  • 이때 반드시 영벡터도 포함해야 해서 따로 명시해주고는 하는데 이 부분은 곱에 대해 닫혀있다는 말과 중복된다

• cf) 부분공간과 부분집합은 다르다

  • 부분집합은 부분공간이 될 수 없지만 반대는 가능

그리고 n차원의 실수 집합을 m차원의 실수 집합으로 변환하는 T가 있다고 하자. 이때 이 T(V)는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있으므로 T(V)는 부분공간이다

결론

• 모든 선형변환은 행렬의 벡터변환으로 표현할 수 있다

• 모든 정의역의 원소들을 공역으로 사상하면 이것이 곧 선형변환의 상이된다

• 행렬의 영공간으로 변환을 표현할 수 있다

집합의 원상

지금까지는 집합 X의 부분공간 A가 변환 T를 거쳐 사상되는 상 T(A)를 살펴보았는데, 반대로 T를 거쳐 사상된 상 T(A)가 있을 때 A를 구하고자 한다.

이 때 X가 존재하지 않을 수도 있다.

어쨋든, 우리는 이 X가 있으면 한번 구해보자는 것이고 이 때 X를 T에 있는 집합 S의 원상 이라고 한다

이 때 원상의 상은 S에 포함된다.

• 정의역이 모두 S랑 대응되지 않을 수도 있기 때문에 같은 것이 아니라 포함되는 것

원상과 핵 예제

어떠한 변환 T를 통해 영벡터로 사상될 때 이 정의역을 T의 핵이라고 한다.

• Kernel of T, Ker(T) 라고 표현한다

선형변환의 합과 스칼라 곱

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행렬의 합과 스칼라 곱 심화

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