13 Tue

Linear Algebra on Khan Academy

함수 더 이해하기

함수는 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들과의 관계

함수는 다음과 같은 두 가지 표기법을 가질 수 있다.

• 전자는 마치 어떠한 기계에 x를 넣고 뚝딱해서 x제곱을 만드는 느낌이고

• 후자는 x와 x제곱간의 대응관계가 있다라는 관계에 직관을 주는 식이다

정의역과 공역

• domain과 co-domain

• 치역은 range라고 한다

1차원 값에 대응시키는 함수를 스칼라값 또는 실숫값 이라고 한다.

1차원 공간에 대응시키는 함수를 스칼라값함수 또는 실숫값함수 라고 한다

벡터의 변환

변환 : 단순히 관계를 만드는 것

벡터의 변환

• n튜플에서 m튜플로 대응되는 것

• $|R^n→ |R^m$이 되는 것

  • ex) f(x1, x2, x3) = (x1+2*x2, 3*x3)

• 벡터의 변환은 f보다는 T 를 자주 쓴다

  • ex) $T : R^3 → R^2$

선형변환

선형변환의 두 가지 필요충분조건

예를 들어 a와 b가 다음과 같다면

위의 변환은 다음과 같이 표현할 수 있다.

그리고 a와 b에 대한 각각의 변환은 다음과 같고, 등식이 성립한다.

선형변환이 되지 않는 예

• 즉, 선형결합의 식이 선형변환으로 이어진다.

  • 선형변환이 되려면 이 함수가 선형적인 결합으로 구성되어야 한다는 뜻

시각적으로 나타낸 변환에서의 행렬

문제 생략

행력 벡터적의 선형변환

정사각 행렬에서 n번째 행, n번째 열의 값만 1이고 나머지는 0인 행렬을 단위 행렬이라고 한다.

• 단위 벡터는 임의의 행렬 A와 곱했을 때 임의의 행렬 A 자신이 된다.

또한 임의의 벡터 x와 곱했을 때는 행렬과 벡터의 내적이 되는데 이는 곧 x벡터 자기 자신과 같다

이 때, 단위행렬의 각 열을 e로 표현하게 되는데,

e1부터 en까지가 Rn의 표준기저가 된다

• 기저가되려면

  • Rn을 생성해야 하고

    • 어떤 벡터 a는 ae로 표현이 가능하다.

    • a = {a1, a2 , ... , an}

    • a1e1 + a2e2 + ... + anen = a1 + a2 + ... + an = a

  • 선형 독립해야 한다

    • e들이 선형 독립하다는 것은 직관적이다.

• 왜 표준일까?

  • 열벡터들의 각각의 내적이 0이 되면서

  • 열벡터 각각의 길이가 모두 1이기 때문

T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ... + xnen)