15 Thu

Linear Algebra on Khan Academy

선형변환 예제: 스케일 변환과 반사

변환을 만드는 예시

선형변환 예제: R2에서의 회전

R3에서 x축을 중심으로 한 회전

단위벡터

단위 벡터

• 길이가 1인 벡터

한 벡터 v에 대해서 단위벡터 m을 만들고 싶다면 다음과 같이 만들 수 있다.

이때 norm v는 다음과 같이 구할 수 있다

특히 표준단위벡터인 경우 벡터 기호 위에 hat 을 써준다

정사영이란?

어떠한 직선 L은 벡터 v의 스칼라곱으로 표현할 수 있다.

이때, 다른 벡터 x가 직선 L에 정사영된 벡터를 $proj_L(x)$ 라고 한다면 벡터와 직선 사이의 거리를 나타내는 벡터는 $\vec x - proj_L(\vec{x})$ 이다.

이 때의 거리는 수직이므로 $\vec x - proj_L(\vec{x})$와 $c\vec v$ 는 내적하면 0이된다.

결국 정사영된 벡터를 나타내는 식은 다음과 같다

행렬 벡터적으로 직선에 정사영 나타내기

지난 강의에 이어서, 정사영식을 조금 바꿔보면

$\vec v \cdot \vec v = || \vec v || ^2$ 이므로 위 식과 같이 쓸 수 있다.

이때, 벡터 v의 길이가 1이면 (=단위행렬이라면)

$Proj_L(\vec x) = (\vec x \cdot \vec v)\vec v$ 가 된다.

또한, 이는 선형변환이다.

그래서, 어떠한 벡터 m이 단위행렬이라면 직선에 정사영 된 벡터식은 다음과 같다

그래서 이는 $Proj_L(\vec x) = (\vec x \cdot \vec v)\vec v$ 대신에

$Proj_L(\vec x) = \left(\begin{array}{cc} \mu_1^2 & \mu_2\mu_1\\ \mu_1\mu_2 & \mu_2^2 \end{array}\right) \vec x$ 로 쓸 수 있다