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Linear Algebra on Khan Academy

벡터와 공간 : 선형대수학을 위한 벡터란?

• 시속 5마일은 속도가 아닌 속력. 방향을 알 수 없기 때문. 따라서 벡터가 아닌 스칼라이다.

• 이 값이 벡터가 되기 위해선 동쪽, 서쪽과 같은 방향이 존재해야 하며 이로서 진정한 속도가 된다.

• 여기서 벡터는 출발점과 끝점의 위치는 중요하지 않으며 방향과 크기만 고려한다.

• 벡터는 다음과 같이 표현하면 된다.

• 첫 숫자는 수평축을, 두번째 숫자는 수직축을 의미한다.

벡터와 공간 : 실좌표공간

• 실수좌표공간, real coordinate space를 다음과 같이 표기하고는 한다.

• 2는 2차원을 의미하고 R은 실수를 의미한다. 실수값을 가지는 모든 2-튜플을 의미한다.

  • 튜플을 순서가 정해져있는 순서쌍을 의미한다

• $R^3$는 3차원 실수 좌표 공간이다.

벡터와 공간 : 대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈

• 벡터의 덧셈에서 차원이 같은 벡터는 각각의 순서쌍의 위치에 있는 수끼리 더해주면 된다.

• 기하적으로 원점에서 부터 그린 한 벡터의 끝점에서 다른 벡터를 그렸을 때 도달하는 점을 원점에서 그린 벡터가 된다.

• 벡터의 덧셈은 교환법칙이 성립한다

벡터와 공간 : 벡터와 스칼라의 곱셈

• 벡터에 스칼라곱을 할 때 크기(magnitute)는 변하지만, 방향은 변하지 않는다는 점이 핵심

• 단, 스칼라가 음수일 경우네는 방향이 정 반대로 뒤집힌다.

  • 이 경우를 방향이 바뀐다 안바뀐다를 논해야 할수도 있지만, 같은 방향의 정의는 어떤 방향에 어떤 스칼라를 곱할 때 나타낼 수 있는 모든 방향으로 볼 수 있다.

벡터와 공간 : 벡터 예제

• 관례적인 방법으로 벡터의 시작점은 (0, 0) 이다.

  • 실수 2-튜플 평면 기준

• 두 벡터의 차는 변형된 두 벡터의 합으로 볼 수 있다

  • a - b = a + (-b)

• 차원이 증가해도 벡터의 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱에 대한 개념은 달라지지 않는다.

벡터와 공간 : 단위 벡터란?

• 단위 벡터란 각 차원에 적용되는 기본 벡터이다.

  • $\hat i$는 수평축을, $\hat j$는 수직축을 표현한다.

벡터와 공간 : 직선의 매개변수 표현

• 2차원 평면에서 서로 다른 두 벡터 a와 b로 모든 벡터를 나타낼 수 있다. 이는 곧 평면을 나타낼 수 있다는 뜻이며 평면 L은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 2차원 뿐만 아니라 3차원 그리고 그 어떤 차원이든 가능하다.

• 여기서 각 매개변수 x, y, z, ... 는 t의 식으로 나타내게 되는데 이 t를 소거하는 방법으로 각 식을 더하면 각 차원의 방정식이 나타나게 된다.