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Linear Algebra on Khan Academy

증명 : 어떠한 부분공간의 기저도 원소의 수가 같습니다.

어떠한 공간 V에 대해 원소의 크기가 다른 두 개의 부분공간 A, B가 있다고 하자. 그리고 이 부분공간은 둘 다 선형독립의 집합이다.

A = { a1, ... , an}, B = { b1, ... , bm}

이 때 n > m 이라고 하자.

B' = {a1, b1, ... , bm} 이라고 하면 이 때 a1은 B의 벡터들로 표현할 수 있다. 왜냐하면 a1은 V의 원소이고 B집합은 V를 이루는 기저벡터집합이기 때문에 a1을 표현할 수 있다. 따라서 다음과 같은 식이 나온다.

a1 = c1b1 + c2b2 + ... cmbm

이 때 b1에 관해서 a1을 풀 수 있으며 결국 다음과 같은 식이 된다.

$b_1 = - {a_1 \over c_1} - ... - {c_m b_m \over c_1}$

따라서, B는 b1 대신 a1을 가지고 있어도 된다. b1이 a1으로 표현할 수 있는 값이기 때문

• (1, 2)와 (3, 5)가 기저벡터라면 (1, 2) 대신 (3, 6) 을 가지고 있어도 되고 (1, 0) + (0, 2) 를 가지고 있어도 된다.

이 과정을 bm까지 진행하게 되면 B는 a1부터 am까지가 존재하는 V의 기반이된다. 결국은 다음과 같이 된다

B = {a1, ... , am} 이 V를 생성한다

A = {a1, ... , an}이 V를 생성한다

이는 곧 A의 부분집합이 V를 생성하는 것이 되므로 A가 V를 생성하며 선형 독립이라는 가정을 깨게 된다.

따라서, 만약 n개의 부분집합 A가 V를 구성하고 n보다 작은 m개의 부분집합 B가 V를 구성한다고 하면 당연히 m개를 구성하는 B가 V를 구성하는 것이 맞다.

• V의 차원이라는 뜻은 V의 기저의 갯수와 동일한 의미이다.

영공간의 차원

차원

• 부분집합에 대한 기반에 있는 요소들의 갯수

• 영공간의 차원은 다른 말로 무효성이라고 한다

영공간의 차원

• 자유 변수의 갯수

• 어떤 행렬 A의 무효성은 A의 기약행 사다리꼴의 존재하는 자유벡터의 갯수이다.

열공간의 차원

열공간은 단지 행렬 A를 구성하는 열벡터들의 집합과 같다.

• 그러나 이 열벡터 a1, ... , am이 선형 독립한지는 모른다.

• 만약 선형 독립하다면 이러한 열벡터들은 열공간의 기저라고 할 수 있다.

• 기약행 사다리꼴을 구해서 자유벡터를 살펴보면 1, 2, 4번째 벡터가 피봇 벡터이다.

• 이 말은 기약행 사다리꼴 행렬 뿐만 아니라 A 행렬도 a1, a2, a4가 선형 독립하다는 뜻이다.

  • 즉 a1, a2, a4가 A의 열공간의 기저를 이룬다.

• 그 이외에 3, 5번째 벡터들은 모두 1, 2, 4번째 벡터들로 표현이 가능하다

열공간의 차원은 피봇 벡터의 개수와 같고 이는 A의 차원과 같다

기저 열과 축열과의 관계

기약행 사다리꼴 R의 기저와 A의 기저가 왜 같은지에 대한 이야기

위 처럼 R의 벡터 r1, r2, r4가 선형 독립이다.

그리고 R의 영공간과 A의 영공간의 해가 같다.

• 이 부분에 대한 증명은 모르겠다

따라서 A벡터에서도 c1a1 + c2a2 + c4a4 = 0을 만족하게 될 것이고 이 때문에 a1, a2, a4가 선형 독립이 된다는 이야기

후보 기저의 A의 열공간 생성

• 무슨 말인지 잘 모르겠다