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Linear Algebra on Khan Academy

행렬 벡터의 곱

행렬은 m x n의 크기를 가지며 m이 rows, n이 columns 이다. 이 때 행렬을 나타내는 기호는 대문자 볼드체로 쓴다. 벡터는 소문자 볼드체로 쓴다.

여기서는 매트릭스와 벡터를 상호작용하는 연산을 이야기 할 것.

첫번째로는 곱셈. 벡터의 길이와 행렬의 열의 길이가 같을 때 Ax를 정의할 수 있다.

여기서, 예를 들어서 숫자를 넣어서 곱을 해볼것이다. 여기서 중요한 점은 결국 매트릭스의 곱은 벡터의 곱 형태로 나타낼 수 있다는 것

바로 오른쪽 아래 처럼 말이다. 단순히 벡터의 내적꼴이 된다. 또한 여기서 매트릭스 A와 벡터 x의 곱이 단순한 선현결하브로 표현될 수 있다는 것이다.

행렬의 영공간이란?

부분공간의 정의를 복습한다. 어떠한 공간이 영벡터를 포함하고 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있어야 한다.

영공간 2 : 행렬의 영공간 계산하기

즉 정리하면, Ax = 0을 만족하는 x를 A의 영공간이라고 한다. 이 때 A의 영공간은 N(A)로 쓸 수 있으며, 공간이기 때문에 오른쪽 아래처럼 Span의 형태로 나타날 수 있다.

또한, A의 영공간과 A의 기약행사다리꼴행렬의 영공간이 동일하기 때문에 A를 풀어서 영공간을 구하는 것보다 기약행사다리꼴로 만들어서 영공간을 구하는 것으로 더 쉽게 구할 수 있다.

영공간 3 : 선형 독립과의 관계

A가 m x n 매트릭스 이기 때문에 영벡터를 구성하는 x는 항상 n차원이어야 한다.

이 때 Ax를 벡터들의 선형결합으로 쓸 수 있다. 이때, 영벡터를 만드는 x들이 모두 0일 때만 벡터 v는 선형독립하다.

차원은 2차원인데 벡터를 구성하는 벡터는 n개 이므로 절대 독립하게 선형결합을 만들 수 없고, 따라서 x가 0일 떄에만 선형적으로 독립하다고 이야기 하는 것

행렬의 열공간

열공간은 Ax가 가질 수 있는 모든 값이다. 강의 설명은 좀 어렵게 말하는데 정리하면 다음과 같다.

예를 들어서, A가 세 개의 벡터 v1, v2, v3로 구성된 벡터라면 Ax의 값은 v1, v2, v3중 어느 하나라도 종속이다. 즉, 이 말은 Ax의 값은 v1, v2, v3의 값과 독립일 수 없다는 이야기이다. 따라서 Ax = b 라고 할 때 b가 A의 열공간에 포함되지 않는다면 이를 만족하는 x는 존재하지 않으며 b가 열공간에 포함된다면 x는 최소 한 개의 해가 존재한다.

영공간과 열공간의 기저

열공간을 구하기는 쉽다. 행렬 A의 열공간의 너비는 A의 열의 개수와 같기 때문이다.

그리고 영공간을 구할 때에는 기약행사다리꼴 행렬을 사용하여 구하게 된다

이 그림은 아래에서 한번 더 언급되게 된다

기약행 사다리꼴을 풀어보면 다음과 같이 식이 나오게 되는데, 이 때 x1과 x2를 피봇 변수 x3와 x4를 자유변수라고 한다

따라서 이를 x3와 x4의 선형결합으로 표현할 수 있으며 이 때의 영공간을 x3와 x4의 계수벡터를 의미한다.

A의 열공간을 이루는 벡터들에 대하여 선형독립을 판단할 때는 Ax=0 이거나 x=0을 떠오르게 될 것이다. 즉 이는 영공간과 연결이 되게 된다. 선형독립일 때의 영공간은 위와 같이 영벡터 하나 밖에 존재하지 않는다.

여기서, x3와 x4가 자유변수이다. x3와 x4는 x1과 x2로 표현 가능하다. 이는 위위위 그림을 참고할 것. 따라서 선형독립 판단을 할 때에, 열벡터의 정의는 x1과 x2의 결합벡터 v1과 v2만으로 이루어질 것이다.

결론적으로 열공간을 정의할 때는 행렬의 모든 열벡터를 명시할 수 있겠지만 선형독립성을 고려해서 피봇변수로만 표현 가능한 벡터와의 결합 벡터들만이 열벡터로 명시할 수 있고 이 때 이를 열공간의 기저라고 한다.

R3에 있는 열공간을 평면으로 시각화하기

기저벡터는 자신의 열공간에 존재하게 된다