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[Statistics 110] 17강- 적률생성함수(Moment Generating Functions)

무기억성, memoryless property

• 확률 변수가 무기억성을 가지고 있으면 그 분포가 무기억성을 가지고 있다.

• 이 분포는 지수분포밖에 없다.

무기억성에 대한 성질은 다음에서 다시 볼 수 있다.

4 Sun | TILsangmandu.gitbook.io

적률생성함수, Moment Generating Function

• MGF

• 적어도 0 주위의 어떤 유한한 구간에서 유용한 개념이다.

  • 구간 (-a, a), a>0 에서 유한하면 된다.

• t는 그저 가변수이다. 일반적으로 t라고 불릴 뿐 다른 기호와 충돌하지 않는다면 어떤 문자로 써도 좋다.

• MGF는 모든 숫자 t에 대해 관한 함수이고 확률 변수이다. 따라서 기댓값을 구할 수 있다.

• 마지막 식에 있는 E(X^n) 을 n차 적률이라고 한다

  • 1차 적률은 평균이다.

  • 2차 적률은 분산은 아니다. (평균이 0이면 분산이다)

    • 그러나 분산을 구할 때 필요하다

• 더 높은 차수의 적률은 유용한 의미가 있고 더 복잡하다

• 모든 적률이 테일러 급수 함수에 있기 때문에 적률 생성 함수라고 한다.

왜 적률함수가 중요할까?

1. n차 적률을 구하기 위해 0을 대입한 MGF를 n번 미분하게 된다

2. 이 부분은 증명하기는 어렵지만, 유용한 이론이다. 같은 MGF를 가지면 누적함수 등의 분포가 동일하다.

3. X의 MGF Mx 와 Y의 MGF My에 대해 X+Y의 MGF 를 위와같이 나타낼 수 있다.

   • 독립하지 않을 때는 성립하지 않는다.

• 베르누이 분포는 X가 0또는 1의 값을 가지게 되며 이 때 $E(e^{tX})$는 E(e^t) 또는 E(1) = 1 의 값을 가지게 된다. 따라서 전자는 p의 확률 후자는 q의 확률 이므로 pe^t + q 가 된다.

• 이항 분포는 베르누이 분포의 단순히 n승을 한것과 동일하다.

• 표준 정규분포 식은 다음과 같다. 근데 정규분포 MDF 식이 왜 저렇게 되는지는 잘 모르겠음.

  • 근데 여기 링크참고 후 이해댐

라플라스의 후속 규칙

• 베이지안과 빈도학파 사이의 논쟁이 이어져왔었다.

  • 베이지안 : 확률 p는 미지수이므로 불확실성을 가진 어떤 분포를 띄는 확률변수로 보아 계량해야 한다

    • 베이즈 정리를 통해 모든 증거가 주어질 때 p의 분포를 구할 수 있기 때문에 베이지안이라고 한다.