18 Sun

[Statistics 110] 19강- 결합, 조건부, 주변 확률질량함수(Joint, Conditional, and Marginal Distributions)

결합 분포, 주변 분포, 조건부 분포

• 결합 확률밀도를 구하기 위해 한 주변 확률 밀도를 다른 주변 확률 밀도와 곱하게 된다.

• 균등하다는 뜻은 특정 영역이 가진 확률이 영역의 면적과 비례한다는 뜻이다.

• 이 때 조건부 Y | X 는 x에 대한 식으로 나타나는데, 이 것은 x가 이미 관망되었다(알고 있다)라는 뜻으로 해석하면 된다.

2차원 LOTUS

• g(x, y)는 실수 함수이며 g(x, y) = x+ y 일수도 ysinx 일수도 있다.

• 독립이면 무상관이다

  • 무상관은 상관관계를 다룰 때 다시 이야기 한다

• 결합 확률밀도함수는 주변 확률밀도함수의 곱이다.

  • 따라서 xyFx(x)Fy(y)와 같은 식이 된다.

• dx의 기준으로 y에 대한 항은 상수항의 곱으로 빠지고 dx의 적분 이후에는 x에 대한 항은 상수항의 곱으로 빠지기 때문에 계산하면 두 확률변수의 기댓값의 곱으로 계산된다.

• 두 임의의 점에 대해서 얼마나 떨어져 있는지 구하고 싶다.

• 이중적분을 두번할 필요가 없다.

  • X와 Y를 바꿔서 써도 성립하고 서로 독립이기 때문이다.

  • 따라서 적분의 2배로 계산하면 된다.

• 조심해야 할 부분은 x는 y보다 크므로 0부터 시작이 아니라 y부터 시작해야 한다는 것이다.

• 무작위로 고른 두 점의 차는 최댓값과 최솟값의 차이다.

  • 근데 왜 인지는 모르겠음!

  • 왜 차는 1/3? 합은 1?

• 근데 푸아송분포는 굉장히 낮은 확률에 대해서 시행하는 거 아닌가?

  • 닭이 낳은 달걀이 부화할 가능성이 작다는 가정하인가?

• 두번째 식에서 X=i, Y=j가 X=i | N=i+j 로 바뀌는 이유는 말 그대로 N과 i가 결정되면 j가 결정되기 때문

  • 예를 들면 X=3, Y=5 | N = 10 인 경우의 수는 0개이다.

  • ${(i+j)!} \over {i!j!}$은 i+j개 중에 i개를 뽑는 경우의 수를 의미한다

• 이 문제의 결론에 대해서 의아해 할 수 있다. 이전에 X와 Y가 종속일 때 X와 Y가 푸아송 분포여도 X+Y는 푸아송 분포가 아니라고 했기 때문.

• 그러나 이번에는 X+Y = N 이 푸아송 분포를 따른다고 정의했고, 이 N은 무작위 수이기 때문에 X와 Y가 종속이라도 푸아송 분포를 따르게 된다