17 Sat

[Statistics 110] 18강- 적률생성함수_2 (MGFs Continued)

확률분포의 MGF와 적률 구하기

지수분포

• 이 때 t를 1보다 작게 두어야 값이 커지지 않는다.

  • t<1 구간에서는 지수적 감소가 적용된다

• 또한 -a부터 a같은 범위를 둬야 한다. 따라서 t<1 까지 둬야 완벽한 MGF가 된다.

• ${1} \over {1-t}$식은 미분하기 불편한 식은 아니다. 그러나 더 쉬운 방법이 있다.

  • 패턴을 파악하는 것

  • 이 패턴은 기하 급수

• 기하급수는 등비급수와 같은 말로 식은 다음과 같다

https://namu.wiki/w/기하급수

• 지수분포의 $\lambda$의 평균은 $1 \over \lambda$이기 때문에 $X =\lambda Y ~ Expo(1)$, 즉 평균이 1이 된다.

정규분포

• 평균이 0이기 때문에 2차 적률 값이 분산이 되고 이는 1이다.

• 홀수 차 적률은 대칭에 의해 0이다.

• 짝수 차수 적률에만 해당하는 이유는 우함수이기 때문이다.

  • 이 때 짝수 차수 적률은 2n명의 사람이 n개의 짝을 이루는 경우의 수

포아송 분포

• 모든 t의 급수가 수렴하기 때문에 모든 t에 대해 유효하다.

• X+Y의 분포를 구하는 과정을 합성곱이라고 한다.

  • 적분을 이용하면 굉장히 어려워진다. => MGF를 이용하기!

• 증명하기는 굉장히 어렵고, 선형성을 이용해서 ($\lambda + \mu$)의 분포를 가진다는 것을 알 수 있지만 이 분포가 푸아송 분포라는 점이 놀라운 점이라고 한다.

  • 이러한 분포는 정확히 푸아송 분포밖에 없다.

• 독립이 아닐 때에는 푸아송분포가 아니다.

  • 극단적인 예는 종속.

  • 2X라는 MGF값을 구해보면 알 수 있지만 더 쉬운 방법이 있다.

  • 포아송분포는 음이 아닌 모든 정수를 가져야 하는데 2X는 짝수값만 가지므로 포아송 분포를 만족할 수 없다.

  • 또, 평균과 분산을 비교할 수도 있다. 평균은 2 * lambda인데, 분산은 4 * lambda 이다. 이는 해석적으로 독립적인 두 분포가 더해질 때 서로를 상쇄할 수 있지만 독립이 아닐 경우 분포를 키우는 경우가 된다.

결합분포와 주변분포

• 주변분포의 주변 은 변수를 따로 본다는 뜻

  • 변수를 하나만 본다는 것을 의미한다.

• 결합 누적 분포는 주변 누적 분포의 곱이다.

• X는 x여야 하지만 Y는 어느 것이든 상관없기 때문에 y에 대해서 합을 구하는 과정을 y의 주변화라고 한다.

  • 이 때는 항상 x에 대한 함수가 나온다.

• 독립일 때, P(X=0) * P(Y=0) = P(X=0, Y=0) 이 성립한다.

• 각각의 확률은 주변 확률의 곱으로 구할 수 있다.

• P(X=0) * P(Y=0) = P(X=0, Y=0)가 성립하지 않으므로 독립이 아님을 알 수 있다.

• ${1} \over \pi$이기 때문에 상수여서 독립이라고 생각할 수 있지만 x에 대한 범위가 결정되면 y에 대한 범위가 한정되기 때문에 독립이 아니다.

  • 만약 x가 0이라면 y는 -1부터 1이지만 x가 1에 가까워 질수록 y는 한 없이 0에 가까운 범위를 갖는다