19 Mon

[Statistics 110] 20강- 다항분포 및 코시분포(Multinomial and Cauchy)

표준정규분포를 따르는 확률변수 사이의 거리의 기댓값

X가 m1, s1을 Y가 m2, s2를 따르는 표준정규분포의 확률변수일 때 X+Y(또는 X-Y)는 평균이 m1+m2 이고 분산이 s1+s2 이다.

• X-Y이더라고 할지라도 X + (-Y)를 따르는 확률 변수라고 볼 수 있기 때문에 분산도 합이다

짝함수 이기 때문에 0부터 무한대까지 적분할 수 있고 이 때 절댓값을 없앨 수 있다.

다항분포

확률 벡터는 음이 아닌 정수이면서 모두 합하면 1이 되는 벡터이다.

이항분포에서는 두 가지 경우가 가능한데 다항분포에서는 K개의 경우가 가능하다고 볼 수 있다

주변분포는 특정 확률변수에만 관심을 두는 확률분포이다.

• 이 상황은 확률변수가 여러 개 있는 상황인데, 이 때 결합 확률질량함수를 만들 수 있다

Lumping Property : 덩어리 이론

• 특정 카테고리를 더했을 때의 상황

• 한 나라에 10개의 정당이 있고 독립적이라고 할 때 이 나라의 주력정당이 2개라고하면 나머지 비주류 정당을 묶어서 이야기 할 수 있다.

  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10을 1, 2, 11로

• 잘 이해는 안갔다

Cauchy Interview Problem

• 코시는 유명한 수학자

• 여기서는 특정 분포를 가리킨다

코시가 악랄한 이유

• 기댓값을 가지지 않는다

  • 기댓값이 발산하기 때문

  • 평균이 없다고 분산이 없는 것은 아니다

• 독립항등분포하는 표준정규분포의 평균을 구하면 평균의 평균은 여전히 코시분포를 만족한다

  • 독립항등분포 : 독립적이면서 같은 분포여야 된다는 뜻 => iid의 한국어버전

  • 분포를 변화시키지 않음

PDF를 구하기 위한 두 가지 방법이 있다

1. 전체 확률이 법칙

2. 누적 분포 함수를 구해서 미분하기

정규분포에 -1을 곱해도 정규분포기 때문에 Y의 절댓값을 씌워도 식이 성립한다. 분자도 분모도 마찬가지이다.

적분식에서 Y는 X에 의존하지 않으므로(독립이므로) 곱을 분리할 수 있다. 또, 표준정규분포는 적분할 수 없지만 단순히 파이로 나타낼 수 있다. X의 범위가 음의 무한대부터 tY까지이기 때문이다.

마지막으로, 역시나 우리는 파이를 적분할 수 없지만 우리가 구할것은 CDF가 아니라 PDF이다. PDF는 CDF의 미분이므로 PDF f(t) 와 CDF의 미분 F'(t)와 같다고 식을 놓으면 풀 수 있다. 여기서 적분과 미분의 순서를 바꾸는 포인트를 사용한다. 미분을 먼저하고 적분을 하는 것이다.

전체 확률의 법칙을 쓰는 방법. 근데 식이 왜 이렇게 되는지는 모르겠다!

이제 알겠다

• 각 y별로의 X가 tY보다 작을 확률을 구하는거고

• 이제 전체확률의 법칙이니까 이 y가 -무한대 부터 + 무한대 까지 존재하고 따라서 이걸 다 더해야 하는데 이게 pdf니까 적분을 하는거고

• 그리고 이 때 y가 균등분포면 상관이 없는데 y는 y나름대로의 분포가 있으니까 삐y를 붙여준 것

  • 삐 라는 것은 그리스어로 카이스트 수학과 석사생이 알려줬음

  • y의 분포라는 것은 예를 들면 6이 잘 나오게 만들어진 주사위는 y = 6일때의 카운트된 값이 더 많으니 이런 것들을 곱해주는 것!