9 Fri

Linear Algebra on Khan Academy

선형결합과 생성 : 선형결합과 생성

• 특정한 차원의 실수공간 위에 있는 벡터 v1, ... , vn이 있다.

• 이를 상수배 해서 합한 꼴을 선형결합이라고 한다

  • c1v1 + ... + cnvn

• 왜 그냥 결합이라고 안하고 선형결합이라고 하나요?

  • 벡터끼리 곱하는게 아니라 임의의 수로 상수배하기 때문

  • 벡터를 곱하는 건 배우지도 않음. 제곱하는 건 더더욱

• 두 개의 방향이 다른 두 벡터를 선형결합하여 얻을 수 있는 것은 무엇일까? (2차원이므로 두 개의 벡터)

  • 바로 두 벡터가 존재하는 차원이다.

• 영벡터의 선형결합으로 얻을 수 있는 유일한 벡터는 영벡터이다.

선형종속과 독립 : 선형독립이란?

• 생성은 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있는 모든 벡터를 의미한다.

• 두 벡터에 대한 선형결합을 한 벡터에 대한 스칼라곱으로 표현할 수 있다면 두 벡터는 선형종속이라고 한다. 두 벡터가 서로 스칼라 배수의 관계인 것.

  • 한 벡터가 그릴 수 있는 직선위에 다른 벡터가 존재한다고도 생각할 수 있다

• 두 벡터에 대한 선형결합을 한 벡터에 대한 스칼라곱으로 표현할 수 없을 때 두 벡터는 선형독립이라고 한다. 세 벡터가 존재한다면 두 개의 벡터로 다른 하나의 벡터를 표현할 수 없어야 한다.

  • 세 벡터에 대한 선형독립은 각각의 두 개의 벡터가 선형독립이면 세 벡터에 대해서 선형독립이라고 할 수 있다

선형종속과 독립 : 선형독립 더 알아보기

• 필요충분조건을 if and only if 또는 iff 라고 나타낸다.

• 선형종속의 iff는 c1v1 + ... cnvn = 0 (ci 중 적어도 하나는 0이 아님)

  • 이 뜻은 -c1v1 = c2c2 + ... cnvn 이라는 뜻

  • 한 개의 벡터가 다른 벡터로 표현이 가능하다는 뜻이다.

  • 이는 v1부터 vn에 대해서 모두 적용 가능

• 이것에 대한 증명은 각 차원의 개수만큼 c에 대한 연립방정식이 나오므로 c를 풀 수 있는데, 만약 선형독립일 때 c를 풀어보면 모든 c가 0이 되버리는 경우가 발생하고 이는 전제와 충돌하므로 해당 연립방정식을 만족하는 c가 존재하려면 선형종속이어야 한다.

• v1, v2, v3 벡터가 존재할 때 v1벡터와 v2 벡터가 선형독립이라면 v1벡터가 v3벡터가 선형독립이면 v2벡터와 v3벡터도 선형독립이다. 라고 생각할 수 있는데 그렇지는 않다.

• 위와 같은 경우는 세 벡터에 대한 임의의 두 벡터는 선형독립이지만 세 벡터의 선형결합은 선형종속이다. 이는 세 벡터 중 다른 두 벡터를 합해서 두 벡터의 선형결합으로 보면 쉽게 확인할 수 있다.

선형종속과 독립 : 선형생성과 선형독립 예제

따로 증명하지 않아도 R3를 이루는 세 개의 벡터가 존재한다면 이 세 개의 벡터는 선형독립하다

부분공간과 부분공간의 기저 : 선형 부분공간

• 만약 벡터 a가 집합 V에 있고 c*a가 집합 V에 있으면 이 집합 V는 곱셈에 대해 닫혀있다고 한다.

• 또, 벡터 a와 b가 집합 V에 있고 a+b가 집합 V에 있으면 집합 V는 덧셈에 대해 닫혀있다고 한다.

• 이렇게, 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있어야 부분집합이라고 할 수 있다.

• 이 S벡터가 실수 공간의 부분공간일까?

  • 곱셈에 대해 닫혀있지 않으므로 부분공간이 아니다!

부분공간과 부분공간의 기저 : 부분 공간의 기저

• 생성이란 부분공간이 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합을 의미한다.

• 이 때 이 벡터들이 선형독립일 때 집합 V의 기저라고 한다.

• 만약 집합 S의 벡터중 하나가 다른 벡터의 두 합으로 만들어진 벡터라면 이 집합 S는 선형종속이어서 집합 V의 기저가 될 수 없다

• 위 벡터같은 경우는 실수 집합의 기저가 된다

  • 영벡터를 표현하기 위한 스칼라 c1, c2 가 0밖에 없기 때문

• 그런데 이 경우 R^2에 대한 기저가 이 두 벡터밖에 없을까?

  • 아니다

• 특별히 이 벡터를 표준 기저 벡터라고 한다.

  • 데카르트 좌표계의 표준 기저기도 하다.

• 이 때 한 공간의 기저의 선형결합을 벡터 a라고 했을 때 이 a는 유일하다.

  • 정의를 이용하면 c-d 역시 0이 되어야 되기 때문이다.