10 Sat

Linear Algebra on Khan Academy

벡터의 내적과 벡터의 길이

우리가 지금까지 알고 있는 것

• 덧셈과 스칼라 곱

새로 배우게 될 것

• 내적

• 내적은 두 벡터를 곱해서 스칼라 값을 가지게 한다

벡터의 길이

기존의 피타고라스 공식을 통한 2차원 길이뿐만 아니라 몇차원이든 동일한 방법으로 길이를 구할 수 있다.

a dot a

벡터의 길이란 자기 자신을 내적한 것

벡터 내적의 성질 증명

교환법칙이 성립

분배법칙과 결합법칙도 성립한다

코시-슈바르츠 부등식의 증명

코시 슈바르츠 부등식

• 두 벡터의 내적의 절댓값은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같다

• 특히 등식이 성립할 때는 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 곱으로 나타내질 때이다.

벡터의 삼각 부등식

영벡터가 아닌 두 개의 벡터 x와 y에 대해 두 벡터를 내적한 값은 두 벡터의 길이를 곱한 값보다 작거나 같다. 특히 등식이 성립할 때는 두 벡터가 선형종속의 관계일 경우이다. (코시 슈바르츠 부등식)

• 이것을 삼각부등식이라고 부른다. 각각의 항을 삼각형의 변이라고 생각하면 된다.

  
• 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작다

• 두 벡터가 같을 때는 기하학적으로 삼각형이 그려지지 않는다. 삼각형의 두 변이 일직선으로 있고 나머지 변이 두 변위로 포개지는 그림. 결국 직선모양으로 보인다.

벡터 사이의 각 정의하기

• 단지 삼각형의 성질을 가져온 것에 불과하다. 스칼라 길이 대신 벡터가 있다는 차이 뿐

두 벡터 사이의 각을 정의하기 위해서 코사인 법칙을 제시한다

따라서 다음과 같은 식이 유도된다.

점과 법선벡터를 이용하여 R3에서 평면 정의하기

• 법선벡터란 면에 직각을 이루는 벡터이다. 면에 직각을 이룬다는 말은 면을 이루는 모든 벡터에 직각을 이룬다는 뜻이다.

• 면 위에 임의의 벡터 a와 법선 벡터 n의 내적은 0이다.