13 Thu

Linear Algebra on Khan Academy

선형변환의 합성 1

X에서 Y로의 변환 S가 있고 Y에서 Z로의 변환 T가 있다. 이 때 X에서 Z로 한번에 가는 변환은 어떻게 표현할까?

• 이것이 바로 변환의 합성

• 단지 T(S(x)) 를 하면 되는 부분

  • 이 때 T o S = T(S(x)) 라고 하자

  • T o S 는 선형 변환일까?

이는 증명과정. 결론은 선형변환이다!

• 중간을 보면 항을 분리하는데 이는 T와 S가 각각 선형변환이기 때문이다.

• 덧셈의 닫혀있고 곱셈에 닫혀있는 모습을 보였다

선형변환의 합성 2

X는 m차원, Y는 n차원, Z는 l차원의 부분공간이라고 할 때 각각의 변환 행렬의 크기는 다음과 같다

T(x) = Bx

• B is l x m

S(x) = AX

• A ism x n

T o S(x) = T(Ax) = BAx = Cx

• 이 때 이렇게 표현할 수 있다

• C = B(A) = [ B(a1) B(a2) ... B(an) ]

행렬곱 예제

단순히 행렬 A와 행렬 B의 곱은 변환 S와 변환 T의 합성행렬이라는 것.

• 단 변환 S의 행렬은 A이고 변환 T의 행렬은 B이다

행렬곱의 결합법칙

• 행렬도 결합법칙이 성립하듯이 선형변환 또한 당연히 성립한다

행렬곱의 분배법칙

• 행렬의 분배법칙이 성립하듯이 선형변환 또한 당연히 성립한다

• 이 때 A(B+C) 와 (B+C)A 는 다르다는 것을 명심