17 Sun

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[Statistics 110] 5강- 조건부 확률과 전확률정리 (Conditioning Continued, Law of Total Probability)

Present Part [5 / 34]

문제 푸는 방법

• 간단한 케이스와 극단적인 케이스에 적용해보기

• 문제를 작은 문제들로 쪼개서 생각해보기

A1, A2, A3, A4: 전체인 S를 분할한 것 (서로소) 주어진 자료로 문제를 잘 '분할'하여 접근하기

$S$를 $A_1, A_2, ... A_n$의 서로소인 분할들로 나누어 놓았다고 했을 때,

$P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ... + P(B \cap A_n)$가 성립하며, 이는 곧

$= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) +... + P(B|A_n)P(A_n)$로도 다시 쓰일 수 있다.

이를 전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)라고 한다.

조건부 확률이 중요한 이유

• 어떠한 단서를 기반으로 확률을 갱신하는 것 자체로도 중요하다

• 비조건부 확률이 필요하더라도 작은 문제로 쪼개기 위해서는 조건부 확률이 필요하다

예제 1) 카드 한 벌에서 무작위로 두 장을 뽑았을 때,

i) P(두 장 다 에이스| (첫번째 카드로)에이스를 뽑음)

이 때, [두 장 다 에이스]는 [에이스를 뽑음]의 부분집합 이므로

= P(두 장 다 에이스) / P(에이스를 뽑음)

$= \huge{\frac{{4\choose 2}/{52 \choose 2}}{1-{48 \choose 2}/{52 \choose 2}}} = \Large \frac{1}{33}$

ii) P(두 장 다 에이스| 스페이드 에이스를 뽑음)

[♠] [?]

한 장의 카드는 스페이드 에이스로 정해져 있기 때문에, 두 장의 카드 중에서 [?]에 해당하는 한 장의 카드를 나머지 3개의 에이스 중에서 뽑으면 된다.

따라서 구하는 확률 $\Large = \frac {3}{51} = \frac{1}{17}$

예제 2) 인구의 1%가 걸리는 병이 있고, 이 병의 검사 결과가 ‘95%의 정확도를 갖고 있다’고 하자. 검사가 양성으로 나왔을 때, 실제로 이 병에 걸렸을 경우는?

병에 걸리는 사건을 D, 검사 결과 양성으로 나오는 사건을 T라고 하자.

문제에서 P(D) = 0.01 로 주어졌고,

‘95%의 정확도를 갖고 있다’를 $P(T|D) = P(T^C|D^C) = 0.95$ 라고 해석할 수 있다고 가정하면,

구하고자 하는 확률 $P(D|T)$ 는

$\Large = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T)} = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D)+ P(T|D^C)P(D^C)} \approx 0.16$ 과 같이 구할 수 있다.

직관이 틀리는 이유

• 95% 라는 가능성에만 집중했기 때문

• 검사의 정확도는 높지만 질병의 발생률이 작기 때문에 두 개의 가능성이 대립한다고 생각할 수 있음

1000명의 사람 중 10명이 이 질병을 보유한다고 가정하면, 질병은 보유하지 않은 사람 990명 중 5명만이 실제로 양성판정을 받는다.

조건부 확률 문제를 풀며 자주 하는 실수

1. $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 헷갈리는 것: ‘조건’과 ‘구하고자 하는 것’을 확실히 알기!
2. $P(A)$ '사전확률‘(prior)과 $P(A|B)$ ‘사후확률'(posterior)를 헷갈리는 것
3. 독립과 조건부 독립을 헷갈리는 것

조건부 독립: 'A와 B는 조건 C 하에서 독립이다'

정의) $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$

조건부 독립 ⇒ 독립이 성립하는가? FALSE

독립 ⇒ 조건부 독립이 성립하는가? FALSE

→ 반례 생각해보기