20 Sat

[인공지능을 위한 선형대수] CHAPTER 4. 고유값 분해

대각화

Diagonalization

• 주대각선을 지나는 원소만 0이 아닌 값을 가지고 나머지 원소값은 0인 행렬

• 𝐷 = 𝑉−1𝐴𝑉 를 통해 A를 대각화하여 분해할 수 있다

• A가 m by m 의 형태이면 V도 마찬가지이다. 또한 이 때 V는 Invertable 해야한다

• 식 전개

  • 𝐷 = 𝑉 −1𝐴𝑉 ⟹ 𝑉𝐷 = 𝐴𝑉 (이 때 V는 invertable)

  • 이 때 V가 정사각행렬이 아니면 역행렬이 없으므로 정사각 행렬만은 가정해야함

고윳값 분해와 선형변환

𝐴 = 𝑉𝐷𝑉 −1

• 이 때 A의 eigendecomposition, 고윳값 분해 라고 한다

• 고윳값을 찾으면 계산이 훨씬 빠르기 때문에 이를 분해해서 구하려는 것

• 정사각행렬이라는 것을 가정으로 둘고 해결한다

𝑇 x = 𝐴x = 𝑉𝐷𝑉 −1 x = 𝑉 (𝐷 (𝑉 −1 x))

𝑇 x = 𝑉 (𝐷 (𝑉 −1 x)) = 𝑉 𝐷y

• 결국 고윳값 분해는 다음 과정과 같음

𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴𝐱 = 𝐴 𝑘𝐱.

• $𝐴^𝑘 = 𝑉𝐷𝑉^{−1} 𝑉𝐷𝑉^{−1} ⋯ 𝑉𝐷𝑉^{−1} = 𝑉𝐷^𝑘𝑉^{ −1}$

Further Study

행렬 A의 대각행렬을 어떻게 뽑을 수 있는가?

어렵다 모르겠다