28 Sun

[Statistics 110] 10강- 기댓값 (Expectation Continued)

이 증명은 평균을 구하는 두 가지 과정이 같다는 것과 비슷하다

• 전체 합을 전체 갯수로 나누는 것

• 동일한 수의 갯수를 센 후 가중 평균을 내는 것

T는 Total에서 따온 것으로 T = X + Y일 때 E(T) = E(X) + E(Y)를 증명하는 과정이다.

이 때 S는 Sample space, s는 조약돌을 의미하며, X(s)는 X = s 에 해당하는, 조약돌이 가지고 있는 값이고, P({s})는 조약돌 s의 질량(전체 질량은 1)이다! 전자는 그룹으로 구한 것이고 후자는 그룹하지 않고 구한 것이다

(X+Y)(s) = X(s) + Y(s) 가 쉽게 되는 과정이 잘 이해가 안갔는데, 단순히 논리 또는 이해로 접근할 수 있다기 보다는, 함수의 덧셈 자체가 (f+g)(x) = f(x) + g(x) 로 정의되었다는 사실을 알고있으면 될 듯 하다.

X = Y 라는 상황은 상관계수가 1이므로 극한의 종속 관계라고 표현할 수 있다. 마치 내가 움직이면 그림자가 따라오는 관계(잠시 자전과 공전이 멈추었다고 하자)

음이항분포는 이항분포도 아니고 음수도 아니다. 기하분포의 일반화이다. 기하분포는 1번의 성공을 위한 실패 횟수를 세는데, 음이항분포는 r번의 성공을 위하는 경우의 연장선이다. 따라서 독립적인 베르누이 p가 있고 r번째 성공 전의 실패 횟수를 알고 싶은 것.

ex) 1000100100001001 (1은 성공, 0은 실패, r = 5)

여기서 r번째의 성공이기 때문에 항상 1로 끝난다. 이 뜻은 이전 까지 4개의 성공과 11개의 실패가 있다는 것이며, 이들의 순서는 확률에 영향을 미치지 않는다.

r번의 성공과 n번의 실패 = $p^rq^n$

마지막 '1' 을 제외한 성공과 실패의 자리 배치 = ${n+r-1} \choose {r-1}$= PMF

음이항이라는 이름을 가진 이유는 이항 정리 때 얻는 것과 관련이 있다. 이 때 음수의 승을 사용하게 된다.

마지막 기댓값 식은 직관적으로 생각할 수도 있는데 어떤 사건의 성공할 확률이 1/10 이라면, 그 사건을 성공한 횟수까지 쳐서 10번을 시행해야 하기 때문이다.

Putname 시험 : 매년 열리는 어려운 수학 문제 컨테스트. median value = 0 이라고 한다. 그만큼 어렵다는 뜻

강의에는 자세하게 설명한 듯 안한 듯 한데, 추가로 찾아본 것은. 사람들은 기대값을 가지고 의사결정을 하려고 했었고, 그러면 안된다는 뜻으로 이 역설이 등장했다. 기댓값은 무한대지만 백만원을 내고 이 게임을 하라고 하면 할 것인가? 하지 않는다. 이러한 문제 해결을 위해 기대 효용 이론이 제시되었다.

결론적으로, 우리가 $E(2^x)$ 에 대해서 $2^{E(X)}$와 같다는 실수를 저지르면 안된다는 것. 이는 선형적으로 맞지만,... (잘 이해를 못했다)