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[Statistics 110] 25강 - 순서통계량과 조건부 기댓값(Order Statistics and Conditional Expectations)

베타분포와 감마분포의 관계

• 베타분포와 감마분포를 연관짓는 예시

• 람다를 1로 두는 것은 단지 분포의 스케일을 조작하는 것이기 때문에 일반성을 해치지 않는 조건이다

• t, w 좌표공간에서 x, y 좌표공간으로 바꿔주기 때문에 이에 대한 표준화를 해준다고 보면된다. 이러한 정규화상수를 자코비안으로 볼 수 있다

• 위 식을 전개할 때 감마(a+b)로 곱하고 나누는 스킬을 쓰는데 이는

• 이 식이 적분하면 1이기 때문이다

  • 감마식을 감마식으로 나눈것 뿐

• 결론적으로 두 개의 감마분포가 있을 때 베타분포를 이끌어 낼 수 있고 이는 X / (X+Y) 라는 뜻

• 방법2는 선형성을 따르는 것은 아니며 일반적으로 항상 거짓이다.

• 여기서 참인 경우는 감마와 베타분포에서만 가능하다

  • 독립인 이유는 Fwt() = Fw()Ft() 로 되기 때문이다

    • 위 베타분포와 감마분포를 연관짓는 예시 식 전개에 나와있다

순서통계량

• 순서통계량이 독립이 아니라는 것이 핵심이다

  • 예를 들어 우리가 구한 최솟값이 매우 크다면 최댓값도 매우 크다

• 이산분포의 경우에는 독립이 아니기 때문에 동일한 값이 굉장히 많이 나올 가능성이 있고 이 때는 순서를 메기기가 어렵지만 연속분포는 소수점 자리수까지 같을 확률이 0이므로 순서를 매길 수 있다

• 방법2는

  • n개의 점 중 하나를 고르고 : n

  • n-1개의 점에서 j-1개의 점은 왼쪽, n-j개의 점은 오른쪽 이다 : n-1 C j-1

  • 이 때 왼쪽 점들은 성공 오른쪽 점들은 실패 : p^(j-1), (1-p)^(n-j)

  • x가 dx 범위안에 있을 확률은 : f(x) dx